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Scheitelpunktbestimmung einer Fuktion 2-ten Grades anhand der quadratischen Ergänzung

Der Scheitelpunkt S einer Funktion 2-ten Grades (allgemein: ax²+bx+c) ist der Extremwert dieser Funktion (siehe Graph).

Bei einer quadratischen Funktion gibt es nur einen Scheitelpunkt.

Der Scheitelpunkt wird in den Beispielen mithilfe der quadratischen Ergänzung ermittelt.

Beispiel 1 : Funktion ohne Leitkoeffizient (a)

Problem:
- gegeben ist die Funktion f(x)=y=x²+4x-3
- gesucht ist der Scheitelpunkt S(x/y)

Lösung:
- man arbeitet mit der quadratischen Ergänzung:
y=x²+4x+2-2-3
- danach muss man das Quadrat bilden:
y=(x+2)²-5
- nun hat man die Scheitelform der Funktion und kann den x- und y-Wert bestimmen:
=> S(-2/5)

Beispiel 2 : Funktion mit Leitkoeffizient (a)

Problem:
- gegeben ist die Funktion f(x)=y=2x²+4x-3
- gesucht ist der Scheitelpunkt S(x/y)

Lösung:
- da das x bei der Scheitelform keinen Koeffizienten besitzen darf, muss man diesen ausklammern:
y=2(x²+2x)-3
- dann macht man wieder die quadratische Ergänzung:
y=2(x²+2x+1-1)-3
- nun bildet man wieder das Quadrat:
y=2((x+1)²-1)-3
- jetzt muss man das Binom aus der Klammer -rausschieben-. Dies klappt durch eine Multiplikation mit der 2:
y=2(x+1)²-2-3
y=2(x+1)²-5
=> S(-1/-5)

Einige Beispiele

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